대부분의 사람들은 ‘벡터’에 대해 한 번쯤은 들어보았을 것이다. 특히, 벡터를 스칼라와 비교하여, 벡터가 크기와 방향이 있는 물리량이라는 사실은 대부분의 사람들이 알고 있을 것이다. 하지만, 많은 사람들은 벡터의 정의에 대해서는 알고 있지만, 벡터를 사용하는 이유에 대해 의문을 가진다. 물론, 문제 해결에 있어 벡터는 유용한 경우가 많다. 벡터가 새로운 상황을 설명하는데 사용되는 다양한 예들을 논의해 보자.
먼저, 다양한 방정식을 풀이함에 있어 벡터를 활용할 수 있다. 예를 들어, ax+by=1이라는 방정식의 좌변은 두 개의 평면벡터 (a,b)와 (x,y)의 내적으로 쓸 수 있다. 이와 같이 방정식을 벡터의 내적으로 표현하면 방정식을 쉽게 풀 수 있는 경우가 있는데, 이것은 벡터의 내적을 계산하는 공식들이 충분히 알려져 있기 때문이다. 벡터 a와 벡터 b의 내적은 두 벡터 a, b의 크기를 각각 p, q, 두 벡터가 이루는 각을 theta라 할 때, p*q*cos(theta)로도 계산할 수 있으며, 각 벡터가 성분들로 표시된 경우 같은 성분의 곱들의 합으로도 계산할 수 있다. 즉, 앞에서 언급한 예시에서, 두 평면벡터 (a,b)와 (x,y)의 크기가 모두 sqrt(2)라는 조건이 주어진다면, 방정식 ax+by=1은 두 평면벡터 (a,b)와 (x,y)가 이루는 각이 60도라는 조건과 동치가 된다.
또한, 다양한 물리적 상황을 표현하는데 벡터를 활용할 수 있다. 힘 F에 의해 물체가 변위 벡터 s 만큼 이동하는 동안 힘이 물체에 한 일은 힘 벡터와 변위 벡터의 내적으로 주어지며, 회전축으로부터 거리 r 떨어진 물체의 한 지점에 힘 F가 가해졌을 때, 힘이 물체에 작용하는 토크는 거리 벡터와 힘 벡터의 외적으로 주어진다. 전기선속에 대해 논의할 때에도, 전기선속은 전기장 벡터와 미소 면적 벡터의 내적으로 주어지며, 비오-사바르 법칙도 벡터의 외적을 이용하면 식을 매우 간단히 표현할 수 있다. 가우스 법칙이나 암페어 법칙 등을 적분형으로 표현할 때에도 벡터의 내적이 이용된다. 즉, 벡터가 다양한 물리적 상황을 수학적으로 표현하는데 매우 유용하다는 것이다.
마지막으로, 벡터는 행렬과 관련이 많아, 행렬과 관련된 계산을 할 때에도 벡터를 활용할 수 있다. 예를 들어, 2행 1열의 행렬은 2개의 성분으로 이루어진 벡터에 대응되며, n행 1열의 행렬은 n개의 성분으로 이루어진 벡터에 대응된다. 두 벡터 a와 b의 내적은, 각 벡터에 대응되는 행렬의 곱인데, 이 때, 1개의 행렬은 (모든 행렬의 성분이 실수인 경우에는) 전치행렬로 바꾸어 계산해야 한다. 즉, 벡터 a와 벡터 b의 내적의 결과는 어떤 상수인데, 이것을 행렬로 계산한다고 생각하면, 1행 n열 행렬과 n행 1열 행렬을 곱한 결과 1행 1열 행렬, 즉 1개의 수가 계산 결과가 되는 것이다. 이처럼 행렬의 곱에서 결합법칙이 성립하는 것처럼 벡터의 내적에서도 결합법칙이 성립하며, 다양한 연산 규칙들이 유사하게 적용된다. 이 사실을 잘 기억하고, 행렬과 관련된 계산을 할 때, 벡터를 활용한다면, 계산들을 더욱 편리하게 할 수 있을 것이다.
지금까지 벡터가 새로운 상황을 설명하는데 사용되는 다양한 예들을 논의해 보았다. 새로운 상황을 설명하는데 있어 벡터를 활용해 보고, 해당 상황을 설명하는데 벡터를 활용할 수 있었던 이유들에 대해 생각해 본다면, 벡터를 활용한 문제 해결 능력을 더욱 향상시킬 수 있을 것이다.
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